2022-10-03

描述

给定两个字符串 text1 和 text2，返回这两个字符串的最长 公共子序列 的长度。如果不存在 公共子序列 ，返回 0 。

一个字符串的 子序列 是指这样一个新的字符串：它是由原字符串在不改变字符的相对顺序的情况下删除某些字符（也可以不删除任何字符）后组成的新字符串。

• 例如，"ace" 是 "abcde" 的子序列，但 "aec" 不是 "abcde" 的子序列。

两个字符串的 公共子序列 是这两个字符串所共同拥有的子序列。

示例 1：

输入：text1 = "abcde", text2 = "ace" 
输出：3  
解释：最长公共子序列是 "ace" ，它的长度为 3 。

示例 2：

输入：text1 = "abc", text2 = "abc"
输出：3
解释：最长公共子序列是 "abc" ，它的长度为 3 。

示例 3：

输入：text1 = "abc", text2 = "def"
输出：0
解释：两个字符串没有公共子序列，返回 0 。

提示：

• 1 <= text1.length, text2.length <= 1000
• text1 和 text2 仅由小写英文字符组成。

标签
#动态规划 #矩阵 #经典题

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题解

0x01 二维DP

先画一张表，text1 的下标作为横坐标，text2 的下标作为纵坐标。

这些标记为 1 的，表示 text1[i] == text[j]

我们需要使用动态规划，就是将之前的计算结果可以复用到后面的计算。

所以，修改下这个矩阵，如下：

接下来就是观察。

定义状态

由上方矩阵，很明显可以看出 dp[i][j] 表示 text1[0..i] 和 text2[0..j] （左闭右闭） 两个字符串的最长公共子序列的长度。

定义初始值

dp[0][0] 在 text1[0] == text2[0] 的情况下为 1，否则为 0。

逆推公式

首先看下 i=1, j=2 所发生的“跃迁”。当 i=1, j=2 时，则 text1[i] = "c", text2[j] = "c"。

那么也就是说，当 text1[i] == text2[j] 时，dp[i][j] = dp[i-1][j-1] + 1。

而 text1[i] != text2[j] 的情况，比如这样：

就是从 dp[i][j-1] 和 dp[i-1][j] 中取最大值。

综上所述，逆推公式为：

• 当 text1[i−1]==text2[j−1
  $dp[i][j]=dp[i−1][j−1]+1$
• 当 text1[i−1]!=text2[j−1]
  $dp[i][j]=max(dp[i−1][j],dp[i][j−1])$

class Solution:
    def longestCommonSubsequence(self, text1: str, text2: str) -> int:
        if len(text1) < len(text2):
            text1, text2 = text2, text1
        
        m, n = len(text1), len(text2)
        dp = [[0] * (n+1) for _ in range(m+1)]

        for i in range(1, m+1):
            for j in range(1, n+1):
                if text1[i-1] == text2[j-1]:
                    dp[i][j] = dp[i-1][j-1] + 1
                else:
                    dp[i][j] = max(dp[i][j-1], dp[i-1][j])
        return dp[-1][-1]

```****